1. Mit értünk két, vagy több szám közös osztóján; hogyan
határozhatjuk meg?
Két, vagy több szám közös osztója az a legnagyobb egész szám,
amely az adott számok mindegyikének osztója, azaz maradék
nélkül meg van bennük.
A legnagyobb közös osztót úgy állítjuk elő, hogy a számokat
prímhatványok szorzatára bontjuk, és azokat a prímszámokat,
amelyek mindegyik számban szerepelnek, az előforduló legkisebb
hatványkitevőre összeszorozzuk. Például:
360 =2^3*3^2*5
980 =2^2*5*7^2
1200 =2^4*3*5^2
E három szám legnagyobb közös osztója: 2^2*5 =20
Magyarázat: Azért 2^2, mert a kettes hatványai mindegyik
számban szerepelnek, de a legkisebb hatványon a 980-ban. Az
5-ös is mindegyikben szerepel, s a legalacsonyabb hatványon az
1-es kitevővel a 360-ban, és a 980-ban, s a 7-es hatvány csak
a 980-ban, a másik kettőben nem, s így nem közös osztó.
2. Mit értünk két, vagy több szám legkisebb közös
többszöröseként; hogyan határozhatjuk meg?
Két, vagy több szám legkisebb közös többszöröse az a legkisebb
pozitív egész számm, amely az adott számok mindegyikének osztója.
A számokat prímhatványok szorzatára bontjuk, és a bennük
szereplő összes prímmtényezőt az összes előforduló legmagasabb
hatványkitevőre emelve összeszorozzuk. Egyszerűen: a számok
mindegyikét összeszorozzuk, és elosztjuk a legnagyobb közös osztóval.
3. Milyen számot nevezünk prímszámnak? Mikor mondjuk, hogy
két, vagy több szám relatív prím?
A pozitív egész számokat osztóik száma szerint három csoportba
sorolhatjuk: 1. Egy osztója van: ebből csak egy szám van, az
1-es. 2. Kettő darab osztója van [1, és önmaga]: ezek a prím,
vagy másnéven törzsszámok. 3. Kettőnél több osztója van: ezek
az összetett számok. Prímszámok előállítására szolgál a
"Eratosztenész-féle szita". Euklides bebizonyította, hogy végtelen sok prímszám
van, s az is bizonyítható, hogy bármilyen "hézagok" is
lehetnek a prímszámok között. Két, vagy több egész szám
relatív prím, ha az 1-en kívül nincs más közös osztója, azaz a
legnagyobb közös osztójuk az 1. Két szám akkor is lehet
relatív prím, ha összetett, például a 6, és a 35.
Az Eratosztenész-féle szita azt jelenti, hogy a felsorolt
számok közül [1-től valameddig] kihúzgálom azokat, amelyek
2-vel, 3-mal, n-nel oszthatók, s amelyek nem lettek kihúzva,
azok a prím számok.
Példaként 100-ig írjuk fel a számokat, s elkezdjük
kihuzogatni a 2-vel oszthatóakat, 3-mal oszthatóakat, stb., s
csak a 10-ig kell elmennünk, mivel a 10 négyzete adja ki a
százat, és ennek megfelelően amit nem húztunk ki, azok mind
prím számok.
4. Mit jelent az, hogy a valós számokra értelmezett összeadás,
és szorzás kommutatív, asszociatív, ill. a szorzás az
összeadásra nézve disztributív?
Az összeadás kommutatív tulajdonsága: minden A, és B valós
számra igaz az, hogy (a +b =b +a) az összeadandók felcserélhetők.
A szorzás kommutatív tulajdonsága: minden A, és B valós számra
igaz az, hogy (a*b =b*a) a szorzat értéke nem fog
megváltozni, ha a tényezőket felcseréljük.
Az összeadás asszociatív tulajdonsága: minden A, B, C valós
számra igaz az, hogy ((a +b) +c =a +(b +c)) csoportosíthatunk
[átzárójelezhetünk], az összeg értéke nem változik.
A szorzás asszociatív tulajdonsága: minden A, B, C valós
számra igaz, hogy ((a*b)*c =a*(b*c)) átcsoportosítható, s a
szorzat értéke nem fog megváltozni.
A szorzás az összeadásra nézve disztributív, mely azt jelenti
az A, B, C valós számokra, hogy ((a +b)*c =a*c +b*c) összeget
tagonként is szorozhatunk [felbontjuk a zárójeleket].
5. Definiálja az egyenes- és fordított arányosság fogalmát!
Két mennyiség kapcsolatát egyenes arányosságnak mondjuk, ha az
egyik mennyiséget akárhányszorosára változtatva a másik
mennyiség is ugyanannyiszorosára változik.
Az egyenes arányosság olyan F függvény, amely egy H halmazt
képez a valós számok halmazára. [H a valós számok egy részhalmaza.]
fx= ax, ahol az a. az egy [nem nulla] valós szám.
Ha a H halmaz megegyezik a valós számok halmazával, akkor az
egyenes arányosságot megadó függvény grafikonja az origón
átmenő egyenes. Ha az egyenesen arányos mennyiségek hányadosa állandó, és
az összetartozó értékek hányadosa állandó. Az egyenes
arányosságra példa az út-idő grafikon: ha hosszabb ideig megy
ugyanolyan sebességgel egy tárgy, akkor arányosan több utat
fog megtenni.
Két mennyiség kapcsolatát fordított arányosságnak mondjuk, ha
az egyik mennyiséget akárhányszorosára növelve, a másik
mennyiségnek ugyanannyiad részére kell csökkennie. A fordított
arányosság olyan F függvény, amely egy H halmazt képez a valós
számok halmazára, s a H halmaz a valós számok részhalmaza.
fx =c /x [c<>0, és valós. Az x sem lehet 0, mert nevezőben nem
állhat 0.]
Ha H halmaz megegyezik a valós számok halmazával, akkor a
függvény grafikonja hiperbola. Az összetartozó értékpárok
szorzata állandó. Fordított arányosságra példa a Boil-Mariott
törvény, ami a gázok nyomása, és térfogata közti viszonyt
mondja, a térfogat, és a nyomás szorzata állandó, azaz ha
csökken a térfogat, növekszik a nyomás, ill. ha növekszik a
térfogat, csökken a nyomás. [Természetesen ugyanarról a
mennyiségű gázról van szó, és nem változik a bentlévő
molekulák száma.]
9. Definiálja a racionális szám fogalmát!
Racionális számok a két egész szám hányadosaként megadható
számok. Ezek p /q alakba felírhatóak, ahol p, és q egész
számok, s nyilvánvaló, hogy q<>0, mert nevezőben nem állhat 0.
Minden racionális szám végtelen sok módon adható meg tört
alakban, egyetlen szám különböző törtalakjai egymásból
egyszerűsítéssel, vagy bővítéssel nyerhetők.
Pl.: 2/3 =4/6 =6/9 =-2/-3...
Egy racionális szám legegyszerűbb törtalakja az a tört, amely
tovább nem egyszerűsíthető, tehát a számlálója, és a nevezője
relatív prím. A szóbanforgó racionális szám egész szám, ha a
legegyszerűbb törtalakjának nevezője 1. Racionális számok
tizedestört alakja véges, ilyenkor a legegyszerűbb
törtalakjának a nevezője olyan szám, amelynek a prím tényezői
között kettőn, és ötön kívül más prímszám nem szerepel, vagy
szakaszos, végtelen tizedestört, s a szakasz kevesebb
számjegyből áll, mint amennyi a tört nevezője. Minden
racionális szám felírható véges, vagy végtelen szakaszos
tizedestört formájában, ill. minden olyan tizedestört,
amelyik véges, vagy végtelen szakaszos, az átírható közönséges
tört formájába. [A végtelen szakaszos tizedestörtek átírásáról
bővebben a mértani sorozatnál lesz szó!]
10. Mi a számelmélet alaptétele?
Minden 1-től különböző pozitív egész szám felbontható
prímszámok szorzatára. Ez a felbontás a tényezők sorrendjétől
eltekintve egyértelmű. Az 1-et azért nem vesszük a prímszámok
közé, mert akkor nem lehetne a számokat a sorrendtől
eltekintve egyértelműen prímtényezőkre bontani. Pl.: 6 =2*3
=1*2*3 =1*1*2*3 [végtelen 1-es szorzót is hozzávehetünk, de
akkor már nem egyértelmű a felbontás.]
11. Bizonyítsuk be, hogy a `2 racionális szám!
A bizonyítás az indirekt, tegyük fel, hogy a `2 racionális,
vagyis felírható p /q alakba, ahol a p, és a q egész számok,
és tegyük fel, hogy a p, és q relatív prímek, azaz legnagyobb
közös osztójuk 1. Ez azt jelenti, hogy a p /q tört már
leegyszerűsített formában van, nem lehet tovább
egyszerűsíteni.
A `2 =p /q-val [a feltételünk szerint], s mindkét oldalt
négyzetre emelve 2 =p^2/q^2-et kapunk. Q^2-tel beszorzunk:
2q^2 =p^2. A bal oldalon 2-es szorzó van, s ennek megfelelően
itt páros szám áll, s ez azt jelenti, hogy a jobb oldalon is
páros számnak kell állni, vagyis a p^2 az páros.
Minden páros szá négyzete páros szám, és minden páratlan szám
négyzete páratlan szám, s ez azt jelenti, hogy ne csak a p^2
páros, hanem a p is páros, azaz 2k alakú. Ha a p 2k alakú,
akkor a p^2 az 4k^2 alakú. Ezt beírva az "eredeti"
egyenletünkbe: 2q^2 =4k^2
Egyszerűsítünk 2-vel: q^2 =2k^2
Mivel a jobb oldalon 2-es szorzó áll, ha ez páros, és [ugye]
egyenlőség van, akkor a q^2 is páros, tehát a q is páros.
Immár a q, és a p is páros, viszont az alapfeltevésünk között
az volt, hogy p, és q legyenek relatív prímek, ami azt
jelenti, hogy nem tudjuk tovább egyszerűsíteni. Viszont ha a
p, és q is páros, akkor még tudjuk tovább egyszerűsíteni
kettővel. Ez által ellentmondás alakult ki, azaz az eredeti
indirekt feltevésünk, hogy a `2 felírható két egész szám
hányadosaként, az megdőlt, ennek megfelelően hamis az
"eredeti" feltevésünk. Ha nem írható fel p /q alakban, akkor
racionális a `2.