66. Hogyan értelmezzük a hegyes szögek szögfüggvényeit?
Tekintsük azokat a derékszögű háromszögeket, amelyeknek az egyik
hegyes szöge alfa, ezek a derékszögű háromszögek - mivel két
megfelelő szögük, alfa és a derékszög, egyenlő - mind hasonlók egymáshoz.
Ezért ezekben a háromszögekben a megfelelő oldalak aránya
egyenlő. Ezek az arányok csak az alfa szögtől függnek, így
ezeket az arányokat szögfüggvényeknek nevezzük.
Az alfa szöget tartalmazó tetszőleges derékszögű háromszögben az
egyes szögfüggvényeket, sin(alfa)-t, cos(alfa)-t,
tan(alfa)-t, ctg(alfa)-t így értelmezzük:
sin(alfa) =a /c [az alfa szöggel szemközti befogó / az átfogó]
cos(alfa) =b /c [az alfa szög melletti befogó / az átfogó]
tan(alfa) =a /b [az alfa szöggel szemközti befogó / az alfa szög
melletti befogó]
ctg(alfa) =b /a [az alfa szög melletti befogó / az alfa szöggel
szemközti befogó]
(sin(alfa) =a /c)-ből (a =c*sin(alfa)), vagyis a szög szinusza
megmutatja, hogy az alfa szöggel szemközti befogó hányszorosa az
átfogónak.
Hasonlóan átfogalmazható a többi szögfüggvény is.
67. Hogyan értelmezhető egy tetszőleges szög szinusza illetve koszinusza?
Az e egységvektor pozitív irányszöge olyan alfa szög, amellyel
az i egységvektort az origó körül pozitív irányba elforgatva az
e-be megy át.
Sin(alfa) az alfa irányszögű e egységvektor ordinátája [második koordinátája].
Cos(alfa) az alfa irányszögű e egységvektor abszcisszája [első koordinátája].
68. Hogyan értelmezhető egy tetszőleges szög tangense , illetve kotangense?
Ha (cos(alfa) <>0) - azaz (alfa <>pi /2 +k*pi), k egész -, akkor
tan(alfa) =sin(alfa) /cos(alfa).
Ha (cos(alfa) =0), akkor az alfa szög tangensét nem értelmezzük.
Ha (sin(alfa) <>0) - azaz (alfa <>k*pi), k egész -, akkor
ctg(alfa) =cos(alfa) /sin(alfa)
Ha (sin(alfa) =0), akkor az alfa szög kotangensét nem értelmezzük.
69. Számítsa ki a 30 fokos, 60 fokos, 45 fokos szögek
szögfüggvényeinek pontos értékét!
A 30 fokos és a 60 fokos szögek szögfüggvényeit a 2 egység
oldal szabályos háromszög segítségével számoljuk ki:
sin(30) =1 /2
sin(60) =`3 /2
cos(30) =`3 /2
cos(60) =1 /2
tan(30) =1 /`3 =`3) /3
tan(60) =`3
ctg(30) =`3
ctg(60) =1 /`3 =`3 /3
a 45 fokos szög szögfüggvényeit az egységnyi befogój egyenlő
szár derékszögű háromszög segítségével számoljuk ki:
sin(45) =1 /`2 =`2 /2
cos(45) =1 /`2 =`2 /2
tan(45) =1 /1 =1
ctg(45) =1 /1 =1
70. Igazolja a következő azonosságokat:
Sin(alfa^2) +cos(alfa^2) =1 minden valós a -ra.
A szögfüggvények definíciója szerint az alfa irányszögű e
egységvektor koordinátái:
(cos(alfa),sin(alfa)), az általuk meghatározott derékszögű
háromszögben felírjuk a Pitagoras-tételt:
|e|^2 =sin(alfa^2) +cos(alfa^2) =1.
71. Határozza meg a háromszög területét, ha adott két oldal és a
közbezárt szög.
Adott egy háromszög két oldala, a és b, és a két oldal által
közbezárt szög epszilon.
Ekkor a háromszög területét [t-t] a következő képlet adja meg:
t =a*b*sin(epszilon) /2
73. Bizonyítsa be egy kör r hosszság sugara, a hosszság hrja és
az a -hoz tartozó alfa kerületi szög közötti következő összefüggést:
A =2*r*sin(alfa).
Az r sugar körben az alfa kerületi szöghöz tartozó a hr hossza:
2*r*sin(alfa).
74. Bizonyítsa be a szinusztételt!
A szinusztétel kimondja, hogy bármely háromszögben az oldalak
aránya egyenlő a velük szemközti szögek szinuszának arányával.
Bizonyítása:
rjuk fel a háromszög területét két féleképpen az alfa és béta
szögek felhasználásával:
a*c*sin(béta) /2 =b*c*sin(alfa) /2, innen:
a*sin(béta) =b*sin(alfa), vagyis:
a /b =sin(alfa) /sin(béta)
Közben felhasználtuk, hogy (c <>0), (b <>0), és (sin(béta) <>0), hiszen
egy háromszög oldalairól, ill. szögéről van szó.
Ugyanez az okoskodás a háromszög többi oldalpárjára is elvégezhető.
A szinusztétel segítségével a háromszög három független adatából
- két oldala és az azokkal szemben fekvő szögei közül -
meghatározhatjuk a kiányzó negyediket.
Ha a hiányzó adat a nagyobb oldallal szemközti szög, akkor két
megoldás is lehet:
egy hegyes szög és egy tompa szög.
Derékszögű háromszögre [ahol a az egyik befogó, alfa az ezzel
szemközti szög, c az átfogó] - a szinusztétel a (sin(alfa) =a /c)
összefüggést adja.
75. Bizonyítsa be a koszinusztételt!
A koszinusztétel kimondja, hogy bármely háromszögben egy oldal
négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből
kivonjuk a két oldal és a közbezárt szög koszinusza szorzatának kétszeresét.
C^2 =a^2 +b^2 -2*a*b*cos(epszilon).
76. Igazolja a következő azonosságokat:
Sin(alfa +béta) =sin(alfa)*cos(béta) +cos(alfa)*sin(béta) és
cos(alfa +béta) =cos(alfa)*cos(béta) -sin(alfa)*sin(béta)
77. Fejezze ki sin(alfa -béta) ill. cos(alfa -béta) értékét a
sin(alfa +béta), ill. cos(alfa +béta)-ra vonatkozó azonosságok ismeretében!
Érvényesek a következő összefüggések:
sin(alfa -béta) =sin(alfa)*cos(béta) -cos(alfa)*sin(béta) és
(cos(alfa -béta) =cos(alfa)*cos(béta) +sin(alfa)*sin(béta)).
Bizonyítása:
Tudjuk, hogy
sin(alfa +béta) =sin(alfa)*cos(béta) +cos(alfa)*sin(béta) és cos(alfa +béta) =cos(alfa)*cos(béta) -sin(alfa)*sin(béta).
rjunk béta helyébe (-bétát), majd használjuk fel, hogy
sin(-béta) = -sin(béta) és cos(-béta) =cos(béta).
Sin(alfa +(-béta)) =sin(alfa)*cos((-béta)) +cos(alfa)*sin((-béta)) =sin(alfa)*cos(béta) -cos(alfa)*cos(béta).
Ezzel állításunkat igazoltuk.
Cos(alfa +(-béta)) =cos(alfa)*cos((-béta)) -sin(alfa)*sin((-béta)) =cos(alfa)*cos(béta) +sin(alfa)*sin(béta).
Ezzel állításunkat igazoltuk.
78. Fejezze ki tan(alfa +béta)-t tan(alfa)-val és tan(béta)-val a
sin(alfa +béta), ill. a cos(alfa +béta)-ra vonatkozó
azonosságok ismeretében!
A tan(alfa +béta) =tan(alfa) +tan(béta) /1 -tan(alfa)*tan(béta).