Térfogat számítások
135. Hogyan származtatjuk a hengert és a hasábot? Hogyan
származtatjuk a glát és a kpot?
A sokszög lapokkal határolt konvex testek a poliéderek.
Egy zárt síkbeli görbe vonal pontjain keresztül párhuzamosokat
hzunk egy a görbevonal síkjával nem párhuzamos egyenessel. gy
egy végtelen hengerfelületet kapunk. Ha ezt elmetszük a
görbevonal síkjával és egy vele párhuzamos síkkal, akkor két
végtelen térrészt és köztük egy véges testet határolunk el. Az
így nyert véges test a henger. Ha a metsző síkok merőlegesek az
adott egyenesre, a henger egyenes, egyébként ferde. Ha a síkbeli
zárt görbe vonal kör, akkor körhengerről beszélünk [gyakori
előfordulása miatt többnyire csak hengert mondunk]. A körlapok
középpontjait összekötő egyenes a henger tengelye. Az egyenes
körhenger egyenlő oldal, ha a tengelymetszete [a tengelyre
illeszkedő, alapsíkra merőleges síkmetszet] négyzet.
Elnevezések:
a metsző síkokban elhelyezkedő lapok a henger alaplapjai, az
összekötő görbefelület a henger palástja.
A henger származtatásakor hzott párhuzamosoknak a metsző síkok
közé eső darabjai a henger alkotói. A párhuzamos síkok távolsága
a henger magassága.
Egy síkbeli sokszög vonal pontjain keresztül párhuzamosokat
hzunk egy a sokszög síkjával nem párhuzamos egyenessel. gy egy
végtelen hasábfelületet kapunk. Ha ezt elmetszük a sokszög
síkjával és egy vele párhuzamos síkkal, akkor két végtelen
térrészt és köztük egy poliédert kapunk. Az így kapott poliéder
a hasáb.
Ha a metsző síkok merőlegesek az adott egyenesre, a hasáb
egyenes, egyébként ferde. Ha a hasáb egyenes, és a síkbeli
sokszögvonal szabályos, akkor szabályos hasábról beszélünk. A
szabályos sokszögek középpontjait összekötő egyenes a hasáb
tengelye.
A paralelopipedon olyan hasáb, ahol a kiinduló sokszögvonal paralelogramma.
Elnevezések:
a metsző síkban elhelyezkedő lapok az alaplapok, a többi lap a
hasáb oldallapja. Az oldallapok paralelogrammák, ezek alkotják a
hasáb palástját. A származtatáskor hzott párhuzamosoknak a
metsző síkok közé eső darabjai a hasáb alkotói. Az alaplapok
oldalai az alapélek, a többi éle a hasáb oldaléle. A párhuzamos
síkok távolsága a hasáb magassága. A téglalap alap egyenes
hasáb a téglatest; a kocka olyan téglatest, amelynek minden éle
egyenlő.
A hasábot és a hengert - hasonló származtatásuk miatt hengerszerű
testeknek nevezzük.
Ha egy síkbeli sokszög vonal pontjain keresztül egy - a sokszög
síkjára nem illeszkedő - rögzített ponton át egyeneseket hzunk,
akkor végtelen kettőskp szerü felületet kapunk. Ez a felület a
sokszögvonal síkjával és a rögzített ponttal együtt több
végtelen és egyetlen véges térrészt határol el. Az így nyert
véges térrész a gla.
A sokszög a gla alaplapja, a többi lap a gla oldallapja. A
gla oldallapjai háromszögek, amelyek közös cscsa a gla
cscsa, ami a rögzített pont. Az oldallapok alkotják a gla
palástját. A gla alaplapjának oldalai az alapélek, a többi él
oldalél. Az egyenes gla oldalélei egyenlők. Ha az egyenes gla
alaplapja szabályos, akkor a gla szabályos: oldallapjai
egybevágó egyenlő szár háromszögek. Ha egy három oldal gla
[tetraéder] lapjai egybevágó szabályos háromszögek, akkor
szabályos tetraéderről beszélünk. Ez a létező 5 féle szabályos
poliéder egyike.
Ha egy zárt síkbeli görbe vonal pontjain keresztül egy - a görbe
vonal síkjára nem illeszkedő - rögzített ponton át egyeneseket
hzunk, akkor egy végtelen, kettős kpfelületet kapunk. Ez a
felület a görbe vonal síkjával és a rögzített ponttal együtt
több végtelen és egy véges térrészt határol el. Az így nyert
véges térrész a kp.
A rögzített pont a kp cscsa. A zárt görbevonal által határolt
síkidom a kp alaplapja. A kp cscsát az alaplap kerületi
pontjaival összekötő szakaszok a kp alkotói. A kp cscsa és az
alaplap síkja közötti távolság a kp magassága. A kp cscsát az
alaplappal összekötő görbe felület a kp palástja. Ha a kp
alaplapja kör, akkor a kp körkp. [Ha kpról beszélünk,
többnyire körkpra gondolunk.] A körkp cscsát a kör
középpontjával összekötő egyenes a kp tengelye. A kp egyenes,
ha a tengelye merőleges a kör síkjára. Ez forgáskp. Az egyenes
kp alkotói egyenlők, tengelymetszete [a tengelyre illeszkedő,
az alapsíkra merőleges síkmetszet] egyenlő szár háromszög. A
kp egyenlő oldal, ha tengelymetszete szabályos háromszög.
A poliéderek térfogatának meghatározása a térfogat 4
tulajdonságán alapszik:
A. A térfogat pozitív szám.
B. Egybevágó poliéderek térfogata egyenlő.
C. Ha egy poliédert két poliéderre darabolunk, a kapott
poliéderek térfogatának összege az eredeti poliéder térfogatával
egyenlő.
D. Az egységnyi élű kocka térfogata 1.
A különböző poliéderek térfogatának meghatározása több lépésben
történik.
A téglatest térfogatát az egységkocka térfogatával hasonlítjuk
össze. A többi poliéder térfogatának meghatározásakor
felhasználjuk a térfogat tulajdonságait, a már ismert
térfogatképleteket. Gyakran a felbontás vagy átdarabolás van
segítségünkre. A gla térfogatát a kétoldali közelítés
módszerével határozzuk meg; a görbe felületekkel határolt testek
térfogatát pedig a "minden határon tl finomodó kétoldali
közelítés" módszerével.
136. Bizonyítsa be, hogy a T alapterületű, M magasság hasáb
térfogata V =T*!
A bizonyítás két lépésben történik. Először bebizonyítunk egy segédtételt.
A. Bebizonyítjuk, hogyha egy téglatest egy cscsából kiinduló 3
éle a, b, c, akkor a térfogata (V) ezek szorzata: V =a*b*c.
A két téglatest alaplapja egybevágó, térfogatuk aránya
magasságuk arányával egyezik meg.
B. A paralelepipedon térfogata:
V =T*m
C. Háromszög alap hasáb térfogata (V) a hasáb alapterületének
(T) és a magasságának (m) a szorzata: V =T*m.
D. A hasáb térfogata a hasáb alapterületének és magasságának
szorzata: V =T*m
137. Bizonyítsa be, hogy az r sugaru, kör alapu, m magasságu henger
térfogata V =r^2*pi*m!
A bizonyítás gondolatmenete:
rjunk gondolatban az r sugaru, m magasság hengerbe és a
henger köré egyre nagyobb oldalszám szabályos sokszög alap
hasábokat [magasságuk m].
A beírt hasáboknál a sokszögek cscsai a körvonalra esnek, a köré
írt hasáboknál a szabályos sokszögek oldalai érintik a kört.
A hasábok alkotói mindkét esetben párhuzamosak a henger
alkotóival. A hasábok és a henger fedőlapjai egy síkba esnek. A
szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt sokszögek
területe nő, a köréírt sokszögek területe csökken. gy az
oldalszám növelésével az azonos oldalszám köréírt és beírt
szabályos sokszögek területe közti különbség csökken. A
szabályos sokszög alap hasábok térfogata az "alapterület szer
magasság" összefüggés alapján számítható, ahol minden beírt és
köréírt hasábra a magasság (m) azonos érték. Ebből és a fent
mondottakból következik, hogy a szabályos sokszögek oldalszámát
növelve a beírt hasábok térfogata nő, a köréírtaké pedig
csökken. gy az azonos oldalszám köré - és beírt hasábok
térfogata közötti különbség csökken. Bizonyítható, hogy a beírt
és köréírt sokszögek területe az oldalszám növelésével azonos
értékhez tart, ez az érték r^2*pi, a kör területe. gy
akármilyen nagy oldalszámra is a köré - és beírt hasábok
térfogata közé esik az (r^2*pi*m) érték, amihez a köréírt és a
beírt hasábok térfogata és a henger térfogata is tart.
Bizonyítható, hogy ez csak gy valósulhat meg, ha az r sugaru m
magasság henger térfogata V =r^2*pi*m.
138. Bizonyítsa be, hogy a T alapterületű, m magasság gla térfogata
(V =T*m /3)!
A. A T alapterületü m magasságu tetraéder térfogata T*m /3.
A bizonyításhoz két segédtételt használunk:
a.: Ha két közös síkon álló tetraéder alapterülete (T) és
magassága (m) egyenlő, akkor az alappal párhuzamos síkmetszeteik
területe is egyenlő.
B.: Az azonos alapterületü és magasságu tetraéderek térfogata egyenlő.
C.: A tetraéder térfogatát - a segédtételek felhasználásával
visszavezetjük a háromoldal hasáb már ismert térfogatára.
B. Tetszőleges T alapterületű m magasságu gla V térfogata:
V =T*m /3.
141. Bizonyítsa be, hogyha a forgáskp alapkörének sugara r,
magassága m, akkor térfogata (V =r^2*pi*m /3)!
A forgáskp térfogatának meghatározása a kör alapu henger
térfogatának meghatározásához hasonló módon történik. rjunk a
kpba és a kp köré egyre nagyobb oldalszám m magasság
szabályos sokszög alap glákat, melyeknek cscsa a forgáskp
cscsával megegyezik. A beírt glák alaplapjainak cscsai a kp
alaplapjának kerületére esnek, a köréírt glák alaplapjainak
oldalai érintik a kp alapkörét. A kp térfogata a beírt és a
körülírt glák térfogata között van. Az alapkör területe is
mindig a beírt és körülírt sokszögek területe közé esik. A
szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt sokszögek
területe nő, a köréírt sokszögek területe csökken. gy az
oldalszám növelésével az azonos oldalszám köréírt és beírt
szabályos sokszögek területe közti különbség csökken. Mivel a
beírt és körülírt glák magassága megegyezik, a térfogatuk
közötti különbség is egyre kisebb lesz. Bizonyítható, hogy a
beírt és a körülírt sokszögek területe az alapkör területéhez,
(r^2*pi)-hez tart. gy akármilyen nagy oldalszámra is a köréírt
és beírt glák térfogata közé esik egyrészt az (r^2*pi*m /3)
érték, amihez a köréírt és a beírt glák térfogata tart,
másrészt a kp térfogata is. Bizonyítható, hogy ez csak gy
valósulhat meg, ha a kp térfogata (V =r^2*pi*m /3).
142. Bizonyítsa be, hogy az r sugaru gömb térfogata (V =4*r^3*pi /3)!
Az r sugaru gömb térfogata: V =4*r^3*pi /3.
/ / / / / / / /
143. Bizonyítsa be, hogyha a csonkakp alapjai r és R sugaru körök,
magassága pedig m, akkor térfogata (V =m*pi /3*(R^2 +R*r +r^2))!