41. Bizonyítsa be, hogy a kör egy ívéhez tartozó bármelyik kerületi
szög feleakkora, mint az ugyanehhez az ívhez tartozó középponti szög!
A kerületi szög olyan szög, melynek cscsa a kör kerületén van,
szárai pedig a kör 1-1 hrját tartalmazzák. A körvonalnak a
kerületi szög szögtartományába eső íve a kerületi szöghöz
tartozó körív. A középponti szög olyan szög, melynek cscsa a
kör középpontja, szárai pedig a kör 1-1 sugarát tartalmazzák. A
körvonalnak a középponti szög szögtartományába eső íve a
középponti szöghöz tartozó körív.
A kör egy ívéhez egy középponti szög és végtelen sok kerületi
szög tartozik.
A kör egy ívéhez tartozó bármely kerületi szög feleakkora, mint
az ugyanehhez az ívhez tartozó középponti szög.
42. Bizonyítsd be, hogy az n oldal konvex sokszög belső szögeinek
összege (n -2*180) fok, átlóinak száma pedig (n*(n -3)/2)!
A. Az n oldal konvex sokszög belső szögeinek összege (n -2*180) fok.
Bizonyítása:
A sokszög minden cscsából (n -3) átló hzható [saját magával és a
két szomszédos cscsba nem rajzolható átló]. Az egy cscsból
hzott (n -3) átló a sokszöget (n -2) háromszögre bontja. Ezek belső
szögeinek összege: n -2*180 fok. Ez éppen a sokszög belső
szögeinek összegét adja.
B. Az n oldal konvex sokszög összes átlójának száma (n*(n -3)/2).
Bizonyítása:
Az n oldal konvex sokszögben egy cscsból (n -3), n cscsból
összesen (n*(n -3)) átló hzható. gy mindegyik átlót kétszer
számoljuk, egyszer az egyik végpontjánál, egyszer a másiknál. Az
(n*(n -3))-at ezért el kell osztani 2-vel. Az n oldal sokszög
összes átlójának száma tehát valóban (n*(n -3)/2).
60. Fejezze ki a körcikk és a körszelet területét a sugár és a
középponti szög [ívhossz] segítségével!
A körcikk a körlapnak és egy középponti szög tartományának a
közös része. Az r sugaru i hosszság ívhez tartozó körcikk
nyílásszöge fokokban kifejezve legyen alfa fok, az ívmértéke
legyen ívalfa, a kör cikk területe t legyen.
A körben a középponti szög és a hozzá tartozó körcikk területe
egyenesen arányos. Ezt felhasználva: Alfa fok /360 fok
=ívalfa/2*pi=t/r^2*pi, innen>
t=pi/360fok*r^2*alfafok=r^2ívalfa/2
az ívmérték definíciója alapján a körív hossza a hozzátartozó
középponti szög ívmértékének r-szerese; i=r*ívalfa. juk ezt be a
körcikk ívmértékkel kifejezett területképletébe:
T=r*i/2
a körszelet területét gy számoljuk ki, hogy az őt tartalmazó
körcikk területéből kivonjuk kiegészítő háromszög területét:
Körszelet területe =r^2*ívalfa/2-r^2*sin(alfa)/2=i*r/2-r^2*sin(alfa)/2
ívalfa: A körív hosszához tartozó középponti szög.
65. Hzzon egy körhöz egy külső pontból egy érintőt és egy szelőt.
Bizonyítsa be, hogy az érintő szakasz hossza a szelődarabok
hosszának mértani közepe!