Másodfokú kifejezések, egyenletek, egyenlőtlenségek
18. Definiálja a következő fogalmakat! A. polinom,B. algebrai tört
A. Polinom: Az egyváltozós valós polinom olyan többtag
összeg, amelynek tagjai a változó különböző hatványainak valós
számszorosai:
a(n)*x^n +a(n -1)*x^n -1 +... +a(1)x +a(0), ahol a(0), a(1), ... , a(n)
adott valós számok, a(n) <>0, és n <>0 természetes szám.
A felírt polinom n-ed fok.
B. Az algebrai tört két polinom hányadosa, például:
5x^4 +4x^3 +2x +3 /4x^5 +3x^2 -1
Az algebrai törtek értelmezési tartománya azoknak a valós
számoknak a halmaza, ahol a tört nevezője nem 0.
19. Mit nevezünk egyenletnek? Mi az egyenlet igazsághalmaza? Mikor
mondjuk, hogy két egyenlet equivalens?
Egyenlet: bármely két [egyenlőségjellel] összekötött kifejezés.
A kifejezésekben szereplő változók az ismeretlenek.
Az egyenlet olyan speciális nyitott mondat, amelynek az
alaphalmaza [vagy értelmezési tartománya] számhalmaz.
[A nyitott mondat változótól függő állítás.]
Az alaphalmaz azon elemeinek halmaza, amelyekre az egyenlet
igaz, az egyenlet igazsághalmaza [vagy megoldáshalmaza].
Két egyenlet equivalens, [egyenértékű], ha azonos
alaphalmazon oldjuk meg, és az igazsághalmazuk is megegyezik.
20. Igazolja a másodfokú egyenlet megoldóképletét!
a*x^2 +b*x +c =0
a<>0 [ha 0, akkor x^2 is 0, s az már nem másodfokú egyenlet]
A-t kiemeljük:
a*(x^2 +{b /a}*x +c /a) =0
A zárójelben lévő részt teljes négyzetté alakítjuk:
a*((x +{b/2*a})^2 -{b^2 /4*a^2} +c /a) =0
Közös nevezőre hozunk:
a*((x +{b/2*a})^2 -{b^2 -4*a*c /4*a^2}) =0
(x +{b /2*a})^2 ={b^2 -4*a*c /4*a^2}
Gyököt vonunk:
|x +{b /2*a}| =`(b^2 -4*a*c) /2*a
Abszolútérték felbontása:
x +{b /2*a} =+-`(b^2 -4*a*c) /2*a
x ={-b /2*a} +-{`(b^2 -4*a*c) /2*a}
x1, x2 ={-b +-`(b^2 -4*a*c) /2*a}
Gyöktényezős alakba is írhatjuk:
a*(x -x1)*(x -x2) =0
Szorzat akkor nulla, ha valamelyik szorzótényező nulla, az A
nem lehet nulla, tehát az (x -x1), vagy az (x -x2) lehet az, s
ebből x=x1, ill. x=x2, innen kaptuk a két gyököt:
(x -3)*(x +4) =0
Egyik gyök: 3, Másik gyök: -4
Mivel a nevezőben nem állhat 0, így a 2*a sem lehet az, s
ekkor tényleg másodfokú egyenletről beszélünk, s elvégezhető
az osztás.
21. Mit értünk a másodfokú egyenlet diszkriminánsán?
A másodfokú egyenlet (a*x^2 +b*x +c =0 [ahol A nem 0])
diszkriminánsa a gyök alatti mennyiség (b^2 -4*a*c).
Ez határozza meg az egyenlet gyökeinek a számát: ha a
diszkrimináns nagyobb, mint 0, akkor az egyenletnek két valós
gyöke van, ha diszkrimináns egyenlő nullával, akkor az
egyenletnek egy valós gyöke van, és az ({-b /2*a}). Ezt
kétszeres gyöknek is szoktuk nevezni, s ekkor az (x1 =x2)-vel,
és a gyöktényezős alak így írható a*((x -x1)^2) =0
Ha a diszkrimináns kisebb, mint nulla, akkor az egyenletnek
nincs valós gyöke, nem tudjuk megoldani a valós számok halmazán...
22. Bizonyítsa be a másodfokú egyenlet gyöke, és együthatói
közötti összefüggéseket!
Az (a*x^2 +b*x +c =0 [A nem nulla]) alakban felírt másodfokú
egyenlet két gyökének összegét (x1 +x2)-t ha felírjuk:
{-b +`(b^2 -4*a*c) /2*a}+{-b -`(b^2 -4*a*c) /2*a} ={-2*b /2*a}
Kettővel egyszerűsítve:
x1 +x2 =-{b /a}
Ha a két gyök szorzatát vesszük:
x1*x2 ={-b +`(b^2 -4*a*c) /2*a}*{-b -`(b^2 -4*a*c) /2*a}
"számlálót a számlálóval, nevezőt a nevezővel":
{(-b)^2 -(b^2 -4*a*c) /4*a^2} ={b^2 -b^2 +4*a*c/4*a^2}
x1*x2 =c /a
Összefoglalva: a Viéte [viét] formulák [Francia matematikus] közül a
két legfontosabb:
x1 +x2 =-{b /a}
x1*x2 =c /a
A két gyök összege [az elsőfokú tag együthatója, és a
másodfokú tag együthatója] hányadosának a -1-szerese, a két
gyök szorzata pedig a nullad fokú tag [konstans], és a
másodfokú tag hányadosa.