84. Mit ért egy alakzat egyenletén?
Egy alakzat egyenlete olyan egyenlet, amelynek megoldáshalmaza
az alakzat pontjainak koordinátáiból áll; vagyis olyan egyenlet,
amelyet az alakzat minden pontjának koordinátái kielégítenek,
más pontok koordinátái viszont nem.
85. rja fel az A(a1,a2) és B(b1,b2) pontok távolságának
kiszámítására vonatkozó képletet, és igazolja annak helyességét!
Két pont (A(a1,a2) és B(b1,b2)) távolsága (d) a két pont által
meghatározott vektor (A -B(b1 -a1,b2 -a2)) abszoltértéke.
Koordinátáival adott vektor abszoltértéke a vektor koordinátái
négyzetösszegének a négyzetgyöke. gy
|A -B| =`((b1 -a1)^2 +(b2 -a2)^2)
A két pont távolsága:
d =`((b1 -a1)^2 +(b2 -a2)^2.
86. rja fel egy szakasz felezőpontjának, illetve harmadolópontjának
koordinátáit a szakasz végpontjainak koordinátáival, és igazolja
a felírt formulákat!
Szakasz felezőpontjának koordinátái: az A -B szakasz F
felezőpontjának koordinátái:
x ={x1 +x2 /2}, y ={y1 +y2 /2}.
A végpontok koordinátáival megadott szakasz felezőpontjának
koordinátái a végpontok megfelelő koordinátáinak számtani közepei.
A végpontok koordinátáival megadott szakasz harmadolópontjának koordinátái:
x =x1 +2*x2 /3 y =y1 +2*y2 /3.
A H harmadolópont koordinátáit megkapjuk, ha a hozzá közelebbi
végpont megfelelő koordinátája kétszereséhez hozzáadjuk a
távolabbi végpont megfelelő koordinátáját, s ezt az összeget
osztjuk 3mal.
87. Adottak egy háromszög cscspontjainak koordinátái. Bizonyítsa
be, hogy a slypont koordinátái kiszámíthatók a cscsok
koordinátáinak számtani közepeként!
X =x1 +x2 +x3 /3 y =y1 +y2 +y3 /3
Ahol S (x,y) a három slyvonal közös pontja.
A bizonyításhoz felhasználjuk a harmadoló pont koordinátáira
vonatkozó ismereteinket.
88. Definiálja egy egyenes iránytangensét!
Egy egyenes irányvektora bármely az egyenessel párhuzamos
vektor. Az egyenes iránytangense egy [v vektor(v1,v2)]
irányvektorának koordinátáiból képzett (v2 /v1) hányados, ahol (v1 <>0).
V2 /v1 =tan(alfa), v1 <>0 és alfa az egyenesnek az x tengely pozitív
felével bezárt szöge.
Ha (v2 =0), vagyis az egyenes párhuzamos az x tengellyel, akkor
iránytangense 0.
Ha v1 =0, vagyis az egyenes párhuzamos az y tengellyel,
akkor nincs iránytangense.
89. Bizonyítsa be, hogy a P0(x0,y0) ponton átmenő v vektor(v1,v2)
irányvektor egyenes egyenlete (v2x -v1y =v2x0 -v2y0)!
A P0(x0,y0) ponton átmenő v vektor(v1,v2)
irányvektor egyenes egyenlete: v2x -v1y =v2x0 -v2y0.
90. Bizonyítsa be, hogy a P0(x0,y0) ponton áthaladó n vektor (n1,n2)
normálvektoru egyenes egyenlete (n1*(x -x0) +n2*(y -y0) =0)!
Az egyenes normálvektora az egyenesre merőleges, nulvektortól
különböző vektor. A bizonyításban felhasználjuk a vektorok
skaláris szorzatára vonatkozó ismereteinket.
91. Bizonyítsa be, hogy a P0(x0,y0) ponton átmenő m iránytangensű
egyenes egyenlete y -y0 =m*(x -x0)!
Bizonyítása:
legyen az egyenes irányvektora v vektor (v1,v2).
Iránytangens csak akkor létezik, ha a v vektor nem párhuzamos az
y tengellyel, vagyis (v1 <>0).
Ekkor az iránytangenst [m-et] így értelmezzük: m =v2 /v1.
Induljunk ki az egyenes irányvektoros egyenletéből:
v2*(x -v1)*y =v2*(x0 -v1)*y0.
V1 <>0, végigosztva az egyenletet kapjuk:
v2 /v1*x -y =v2 /v1*x0 -y0.
Ez pedig így írható:
m*x -y =m*x0 -y0.
A kapott egyenletet rendezve kapjuk, hogy:
y -y0 =m*(x -x0).
Ha az adott pont P0(0,b), akkor y -b =m*x, vagyis y =m*x +b.
Ez az egyenes iránytényezős egyenlete.
92. Adja meg két egyenes párhuzamosságának, illetve merőlegességének
- a koordinátageometriában használatos - szükséges és elégséges feltételét!
Két egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha irányvektoraik,
illetve normálvektoraik párhuzamosak, vagyis egymásnak skalárszorosai.
Ha az egyeneseknek van iránytangensük, vagyis nem párhuzamosak
az y tengellyel, akkor a párhuzamosságnak szükséges és
elégséges feltétele, hogy a két egyenesnek az iránytangense [m1
és m2] egyenlő legyen: m1 =m2.
Két egyenes akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha
irányvektoraik illetve normálvektoraik merőlegesek egymásra,
vagyis irányvektoraik, illetve a normálvektoraik skaláris
szorzata 0. Ha mindkét egyenesnek van iránytangense [m1 és m2],
akkor a merőlegesség szükséges és elégséges feltétele, hogy
iránytangenseik szorzata -1 legyen: m1*m2 =-1.
93. Bizonyítsa be, hogy a C(u,v) középpont, r sugaru kör
egyenlete ((x -u)^2 +(y -v)^2 =r^2)!
A P(x,y) pont akkor és csak akkor van a körön, ha távolsága a
C(u,v), középponttól, r.
A bizonyításhoz felhasználjuk a két pont távolságát megadó képletet.
95. A P paraméterű F(0,p /2) fókuszpont parabola tengelypontja a
koordinátarendszer kezdőpontja, tengelye az ordinátatengely.
Bizonyítsa be, hogy a parabola egyenlete (x^2 =2*p*y)!
Bizonyítása:
a feltételek alapján a vezéregyenes egyenlete:
y =-P /2.
A P(x,y) pont akkor és csak akkor van a parabolán, ha P-nek a
vezéregyenesen lévő merőleges vetületét T-vel jelölve (P -F =P -T), vagyis:
`(x^2 +(y -P /2)^2) =y +P /2.
Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve, majd rendezve
kapjuk az (x^2 =2*p*y) alakot, amely eqivalens az előbbi
egyenlettel, mivel a feltételek miatt (y +p /2) pozitív. A kapott
egyenlet az y tengelyű parabola tengelyponti egyenlete.
Az x tengelyű parabola tengelyponti egyenlete:
y^2 =2*p*x.