32. Igazolja, hogy a háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb
oldal van, és fordítva.
A. A háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van.
B. A tétel első része: Egy háromszögben nagyobb szöggel szemben
nagyobb oldal van.
35. Igazolja, hogy a háromszög oldalainak felezőmerőlegesei egy
pontban metszik egymást.
Legyen az ABC háromszög A-B oldalának felezőmerőlegese e.
Ennek minden pontja egyenlő távolságra van A-tól és B-től. A B-C
oldal felezőmerőlegese F. Ennek minden pontja egyenlő távolságra
van B-től és C-től. Mivel A-B és B-C metszik egymást, a
felezőmerőlegeseik e és F metszik egymást [mert metsző
egyenesekre merőlegesek].
Az M metszéspont egyenlő távolságra van A-tól és B-től, B-től és
C-től is; vagyis mindhárom ponttól, eszerint A-tól és C-től is.
Tehát M rajta van az A-C oldal felezőmerőlegesén.
Ezzel állításunkat bebizonyítottuk.
A három felezőmerőleges egyetlen közös pontja az M, a háromszög
három cscsától egyenlő távolságra van. gy ez a pont a
háromszög köré írható kör középpontja.
36. Igazolja, hogy a háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik
egymást!
Legyen az ABC háromszög alfa szögének szögfelezője F-alfa. Ennek
minden pontja egyenlő távolságra van a b és a c oldaltól. A béta
szög szögfelezője F-béta. Ennek minden pontja egyenlő távolságra
van az a oldaltól és a c oldaltól. Az Falfa és az Fbéta
szögfelezők a háromszög belsejében metszik egymást, a
metszéspont N, amely egyenlő távolságra van btől és ctől, és
atól és ctől is, vagyis mindhárom oldaltól. Eszerint egyenlő
távol van atól és btől is, tehát rajta van a epszilon szög
szögfelezőjén is [kihasználjuk, hogy N a háromszög belsejében
van]. A három belső szögfelező egyetlen kötös pontja az N, az
ABC háromszög mindhárom oldalát érintő kör középpontja.
37. Bizonyítsa be, hogy a háromszög magasságvonalai egy pontban
metszik egymást!
A háromszög magasságvonala a háromszög egyik cscsából a
szemközti oldal egyenesére bocsájtott merőleges. Egy
háromszögnek három magasságvonala van.
A háromszög magasságvonalai egy pontban, a háromszög
magasságpontjában metszik egymást.
38. Igazolja Thálész tételét, és a tétel megfordítását!
Egy kör tetszőleges átmérőjének két végpontját a körvonal
bármely más pontjával összekötve derékszögű háromszöget kapunk.
A tétel megfordítása:
Derékszögű háromszög köré írt kör középpontja az átfogó
felezőpontja, az átfogó a kör átmérője.
55. Bizonyítsa be, hogy a háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást!
Egy háromszög slyvonala a háromszög egyik csúcspontját a
szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz. A
háromszögnek 3 súly vonala van. A háromszög súlyvonalai egy
pontban metszik egymást, ez a pont a háromszög súlypontja. A
súlypont a súlyvonalakat kettő egy arányban úgy osztja két
részre, hogy a hosszabb szakasz a csúcs felöl van.
56. Bizonyítsa be a Pitagoras-tételt, és a tétel megfordítását.
Pitagoras tétele:
A derékszögű háromszög befogóira rajzolt négyzetek területeinek
összege egyenlő az átfogóra rajzolt négyzetek területével.
Algebrai alakban: A^2 +b^2 =c^2, ahol a és b a derékszögü
háromszög két befogója és c az átfogója.
A Pitagoras tétel azt mondja ki, hogy a derékszögű
háromszögben a befogók négyzetösszege az átfogó négyzetével
egyenlő.
A Pitagoras tétel megfordítása:
Ha egy háromszög két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik
oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.
58. Bizonyítsa be, hogy a háromszög belső szögfelezője a szemközti
oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja!
A háromszög b cscsából induló szögfelező a szemközti oldalt két
részre osztja. Jelöljük ezeket b1-gyel és b2-vel. A tétel
állítása szerint: b1/b2=a/c.
63. Bizonyítsa be, hogy a derékszögü háromszög befogója az
átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének
mértani közepe.
A derékszögű háromszög befogója az átfogónak és a befogó
átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepe.
64. A derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága az átfogót
két szeletre osztja. Bizonyítsa be, hogy az átfogóhoz tartozó
magasság a két szelet mértani közepe.
[A tételt lásd a címben!]