Halmazok
152. Adjon meg különféle jelölésekkel három halmazt! Mikor egyenlő
két halmaz?
A halmaz a matematikában alapfogalom. Két halmazt akkor
tekintünk egyenlőnek, ha ugyanazokat az elemeket tartalmazzák.
Halmazt megadhatunk gy, hogy felsoroljuk az elemeit.
Pl.: A={{1,3,5,7,9}}
Megadhatunk halmazt egy alaphalmazzal, és egy tulajdonsággal
gy, hogy a halmazba az alaphalmaznak azok az elemei tartoznak,
amelyekre igaz a tulajdonság.
Pl.: R+={{x eleme R és x >0}}, P={{n eleme N+ és n prím}}
153. Legyen A és B két tetszőleges halmaz. Mikor mondjuk, hogy A
részhalmaza B-nek?
Az A halmaz részhalmaza [része] a B halmaznak, ha az A halmaz
minden eleme egyben a B halmaznak is eleme. A részhalmaza B-nek,
és B-nek nincs A-hoz nem tartozó eleme
154. Legyen A és B két tetszőleges halmaz. Mit értünk A és B direkt
[Descartes-féle] szorzatán?
Tegyük fel, hogy A és B nem üres halmazok. Az A*B halmaz eleme
az összes olyan (a,b) alap rendezett pár, ahol a eleme A-nak,
és b eleme B-nek. Az A*B halmazt az A és B halmazok direkt [Descartes-féle]
szorzatának nevezzük.
155. Definiálja a következő halmazműveleteket: Unió-,
Metszet-, Különbségképzés! A három művelet közül melyik
kommutatív, melyik asszociatív?
Unióképzés: Az A és B halmaz uniója [egyesítése, összege] azon
elemeknek a halmaza, amelyek az A és B halmazok közül legalább
az egyiknek elemei. Az unióképzés:
Kommutatív: A unió B = B unió A.
Asszociatív: (A unió B) unió C=A unió (B unió C)=A unió B unió C
Metszetképzés: Az A és B halmaz metszete [közös része] azon
elemeknek a halmaza, amelyek az A és B halmazok közül
mindkettőnek elemei. A metszetképzés:
Kommutatív: A metszet B = B metszet A
Asszociatív: (A metszet B) metszet C = A metszet (B metszet C)=
A metszet B metszet C
Különbségképzés: Az A és B halmazok [ebben a sorrendben vett]
különbsége az A halmaz azon elemeinek halmaza, amelyek nem
elemei a B halmaznak.
A különbségképzés művelete nem kommutatív és nem asszociatív.
156. Mi a konjunkció? Bizonyítsa be, hogy a művelet kommutatív és
asszociatív!
A konjunkció olyan logikai művelet, amely két kijelentést vagy
állítást az "és" kötőszóval kapcsol össze egy kijelentéssé.
A művelet kommutatív: A és B = B és A.
A definíció szerint ugyanis az A eredmény logikai értéke [igaz,
vagy nem igaz volta] független az eredeti állítások sorrendjétől.
A művelet asszociatív: (A és B) és C = A és (B és C)
157. Mi a diszjunkció? Bizonyítsa be, hogy a művelet kommutatív és asszociatív!
A diszjunkció olyan logikai művelet, mely két kijelentést a "vagy"
kötőszóval egy kijelentéssé kapcsol össze.
A művelet kommutatív: A vagy B = B vagy A , a definíció szerint
ugyanis az eredmény logikai értéke független az eredeti
állítások sorrendjétől.
A művelet asszociatív: (A vagy B) vagy C=
A vagy (B vagy C)
158. Mi a negáció? Legyen P és Q két állítás! Bizonyítsa be, hogy nem
(P és q)=nem P vagy nem Q!
A negáció egyváltozós művelet. Egy A kijelentés negációja (nem
A) a "nem igaz, hogy A" kijelentést, vagyis A tagadását jelenti.
Fontos összefüggés a diszjunkció és a konjunkció között:
Nem (P és Q) = nem P vagy nem Q