44. Mi az egybevágósági transzformáció?
Geometriai transzformációk azok a függvények, amelyek 1
ponthalmazt 1 ponthalmazra képeznek le.
A geometriai transzformációk közül a távolságtartó leképezések
az egybevágósági transzformációk.
Ha a P és Q pont képe P' és Q', akkor P és Q távolsága
megegyezik a P' és Q' pontok távolságával.
A tengelyes és a középpontos tükrözés a pont körüli forgatás és
az eltolás síkbeli egybevágósági transzformációk.
45. A sík melyik transzformációját nevezzük tengelyes tükrözésnek?
Sorolja fel a tengelyes tükrözés tulajdonságait!
Adott a sík egy t egyenese.
Ez a tengelyes tükrözés tengelye. A t tengelyre vonatkozó
tengelyes tükrözés a sík tetszőleges t-re nem illeszkedő P
pontjához azt a P' pontot rendeli, amelyre fennáll, hogy a két
P -P' szakasz felezőmerőlegese a t tengely. A t egyenes képe
saját maga.
A tengelyes tükrözés tulajdonságai:
A. A hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű: egy pontnak egy
képpont felel meg, és minden képpontnak egy őse van.
B. A t egyenes minden pontja fixpont, más fixpont nincs.
C. A t egyenes és a rá merőleges egyenesek fixegyenesek, több
fixegyenes nincs.
Fixalakzatok a t egyenesre tengelyesen szimetrikus idomok.
D. A leképezés távolságtartó [minden szakasz egyenlő hosszság
a tükörképével].
E. Szögtartó [minden szög egyenlő nagyság a tükörképével)].
F. Nem körüljárástartó [minden síkidom ellenkező körüljárás,
mint a tükörképe].
G. Egyenes képe olyan egyenes, amely ugyanabban a pontban metszi
a tengelyt, és ugyanakkora szöget zár be a tengellyel, mint az
eredeti egyenes.
A fixpont olyan pont, amelynek a képe saját maga.
A fixalakzat olyan alakzat, amelynek a képe saját maga.
46. A sík melyik transzformációját nevezzük középpontos tükrözésnek?
Sorolja fel a középpontos tükrözés tulajdonságait!
Adott a sík egy O pontja, a középpontos tükrözés középpontja.
Az O pontra vonatkozó középpontos tükrözés a sík tetszőleges
O-tól különböző P pontjához azt a P' pontot rendeli, amelyre az
O pont a P-P' szakasz felező pontja.
Az O pont képe saját maga.
A középpontos tükrözés tulajdonságai:
A. A leképezés kölcsönösen egyértelmű.
B. Az O pont az egyetlen fixpontja.
C. Minden O-ra illeszkedő egyenes fixegyenes, bár pontonként
egyik sem fix.
D. A leképezés távolságtartó, szögtartó és körüljárástartó.
E. Ha egy egyenes nem illeszkedik az O pontra, akkor az egyenes
és a képe párhuzamos egymással.
47. Milyen ponthalmazokat nevezünk a sík egy pontjára, ill.
egy egyenesére szimetrikusnak? Sorolja fel a középpontosan,
ill. a tengelyesen szimetrikus háromszögeket, négyszögeket,
sokszögeket!
Ha egy ponthalmazhoz található olyan O pont, melyre vonatkozó
tükörképe önmaga, akkor ez a ponthalmaz középpontosan
szimetrikus alakzat, melynek O a szimetriaközéppontja.
Ha egy ponthalmazhoz található olyan t egyenes, amelyre
vonatkozó tükörképe önmaga, akkor ez a ponthalmaz tengelyesen
szimetrikus alakzat. A t egyenes az alakzat tükörtengelye vagy szimetriatengelye.
Középpontosan szimetrikus háromszög nincs, mert nem lehetnek
párhuzamos és egyenlő hossz oldalpárjai.
Középpontosan szimetrikus négyszög a paralelogramma. A
szimetriaközéppont az átlók metszéspontja.
Középpontosan szimetrikusak általában a páros oldalszám
szabályos sokszögek, például a szabályos 6szögek, 8szögek,
10szögek stb. Szimetriaközéppontjuk az átellenes cscsokat
összekötő átlók metszéspontja, amely egyttal a párhuzamos
oldalpárok felezőmerőlegeseinek is közös pontja. De vannak más -
nem szabályos - középpontosan szimetrikus páros oldalszám
sokszögek is.
A kör átmérői a középpontban metszik egymást, erre a pontra a
kör középpontosan szimetrikus.
Az egyenlő szár háromszög tengelyesen szimetrikus, legalább egy
szimetriatengelye van.
Speciálisan a szabályos háromszög is tengelyesen szimetrikus, és
három szimetriatengelye van.
A deltoidnak és a szimetrikus trapéznak legalább egy
szimetriatengelye van.
A rombusznak és a téglalapnak legalább 2, és a tengelyek
merőlegesek egymásra; a négyzetnek négy.
A rombusz, a téglalap [és így a négyzet is] - mivel
paralelogrammák - középpontosan is szimetrikus alakzatok.
A szabályos sokszögek mind tengelyesen szimetrikusak, annyi
szimetriatengellyel, ahány oldaluk van.
A páros oldalszámak ([pl. a szabályos háromszög
középpontosan is szimetrikusak, és a tükörtengelyek a szemközti
cscsokat, illetve a szemköztes oldalak felezőpontjait kötik
össze. A páratlan oldalszámak középpontosan nem szimetrikusak,
és a tükörtengelyek a cscsokat az átellenes oldal
felezőpontjaival kötik össze. A kör tengelyesen szimetrikus
minden átmérőjére.
48. A sík melyik transzformációját nevezzük pontkörüli forgatásnak?
Sorolja fel a tulajdonságait!
Adott a sík egy O pontja, egy alfa szög, és egy [pozitív vagy
negatív] forgásirány. Az O pont körüli alfa szögü, adott irány
forgatás a sík tetszőleges O-tól különböző P pontjához azt a P'
delta irány és nagyság szerint megegyezik alfával. Az O pont
képe önmaga.
Az O-t az elforgatás centrumának nevezzük.
A pont körüli forgatás tulajdonságai:
A. Kölcsönösen egyértelmű.
B. Egyetlen fixpontja az O pont, ha csak az elforgatás szöge nem
0 fok.
C. Fixegyenese nincs, hacsak nem 0 fok vagy 180 fok az
elforgatás szöge.
D. Minden olyan kör fix alakzat, amelynek a középpontja az
elforgatás centruma: és minden n oldalu szabályos sokszög is az,
a középpontja körül 360fok /n szöggel vagy többszörösével elforgatva.
E. Távolságtartó és szögtartó.
F. Körüljárástartó.
G. Ha a forgatás szöge nem nagyobb, mint 90 fok, akkor bármely
egyenes és a képegyenes által bezárt szög megegyezik az
elforgatás szögével.
49. Milyen ponttranszformációt nevezünk eltolásnak? Sorolja fel az
eltolás tulajdonságait!
Adott egy v vektor. A v vektorral való eltolás a tér tetszőleges
P pontjához azt a P' pontot rendeli, amelyre (P -P' =v).
A hozzárendelés tulajdonságai:
A. Kölcsönösen egyértelmű.
B. Nincs fixpontja, kivéve, ha az adott vektor nulvektor.
C. Az adott vektorral párhuzamos egyenesek és síkok
fixalakzatok, de pontonként egyik sem fix.
D. Távolságtartó és szögtartó.
E. Körüljárástartó.
51. Milyen ponttranszformációt nevezünk középpontos hasonlóságnak?
Sorolja fel a középpontos hasonlóság tulajdonságait!
Adott egy O pont és egy epszilon [0-tól különböző valós] szám.
Az O középpontu, epszilon arány középpontos hasonlóság a sík
egy tetszőleges az O ponttól különböző P pontjához az O-P
egyenesen azt a P' pontot rendeli, amely O-tól
|epszilon|-szor akkora távolságra van, mint P; és epszilon >0
esetén az O-P félegyenesen van, epszilon <0 esetén pedig az
O-P-vel ellentétes félegyenesen. Az O pont képe önmaga.
Ha (|epszilon >1), akkor nagyítás; ha (|epszilon| <1), akkor
kicsinyítés; ha (|epszilon| =1), akkor egybevágóság, ha epszilon
negatív, akkor az O pont elválasztja a P és a P' pontot.
A középpontos hasonlóság tulajdonságai:
A. Kölcsönösen egyértelmű.
B. Egyetlen fixpontja az O pont.
C. Minden O-ra illeszkedő egyenes fixegyenes, de pontonként nem fix.
D. Ha egy egyenes nem illeszkedik az O pontra, akkor az egyenes
és a képe párhuzamos egymással.
E. A középpontos hasonlóság aránytartó: ha a A képe A' és B képe
B', C képe C', D képe D', akkor (A -B /C -D =A' -B' /C' -D').
F. A középpontos hasonlóság szögtartó.
57. Fogalmazza meg a párhuzamos szelők tételét és a tétel megfordítását!
Párhuzamos szelők tétele:
Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metszük, akkor az
egyik száron keletkező szakaszok aránya megegyezik a másik
száron keletkező megfelelő szakaszok arányával.
A tétel egy speciális esetének megfordítása:
Ha egyenesek egy szög két szárából olyan szakaszokat vágnak le,
amelyek aránya mindkét száron ugyan az, akkor az egyenesek párhuzamosak.
Általános esetben nem fordítható meg a tétel, csak akkor, ha a
szakaszok a szög cscsától kezdve és egymáshoz csatlakozva
helyezkednek el.
59. Mikor mondjuk két síkidomról, hogy hasonlók? Sorolja fel a
háromszögek hasonlóságának alapeseteit!
Két alakzat hasonló:
Ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik
alakzathoz a másikat rendeli.
Hasonlósági transzformáció:
Véges sok középpontos hasonlóság és véges sok egybevágósági
transzformáció egymásutánja.
Bizonyítható, hogy két háromszög hasonló, ha megfelelő
oldalainak aránya páronként egyenlő
ha két -két megfelelő oldaluk aránya és az ezek által közbe zárt
szögeik egyenlők.
Ha két-két szögük páronként megegyezik.
Ha két-két megfelelő oldaluk aránya és a nagyobb oldalakkal
szemközt lévő szögeik egyenlők.
61. Tekintsünk két hasonló sokszöget, illetve két hasonló glát, a
hasonlóság aránya legyen mindkét esetben k. Bizonyítsa be, hogy
a két sokszög területének aránya k^2, a két gla térfogatának
aránya pedig k^3!
A k valós szám, két hasonló sokszög, illetve két hasonló gla
pontpárjai távolságának aránya, így k pozitív szám.
A bizonyításban szükségünk van a hasonló háromszögek területei
között fönnálló összefüggésre, ezért első lépésben ezzel foglalkozunk.
Tekintsünk két hasonló háromszöget, melyek hasonlóságának aránya
k. Mivel a két háromszög hasonló egymáshoz, van olyan
hasonlósági transzformáció, amely egyiket a másikba viszi. Ez a
transzformáció szögtartó is, így az egyik háromszög magasságát a
másik háromszög magasságába viszi.
62. Milyen összefüggés van a gla alapterülete és az alappal
párhuzamos síkmetszetének területe között? Bizonyítsa be!
A gla alappal párhuzamos síkmetszetének területe gy aránylik
az alapterülethez, mint ahogy a síkmetszet cscstól mért
távolságának (x) négyzete aránylik a gla magasságának (m) négyzetéhez.
Bizonyítás:
A két sokszög - az alappal párhuzamos metszésből adódóan - a
gla cscsára nézve középpontosan hasonló. A hasonlóság aránya
megegyezik a gla alaplapja éleinek és a párhuzamos síkmetszet
megfelelő éleinek arányával, ez pedig megegyezik a hozzájuk
tartozó glák magasságának arányával, (x /m)-mel. Tudjuk, hogy
hasonló idomok területeinek aránya a hasonlósági arány négyzete.
Ezért a párhuzamos síkmetszet területe gy aránylik az
alapterülethez, mint a cscstól számított távolságaik négyzete
[a megfelelő glák magasságainak négyzete].
Tehát:
t /T =(x /m)^2 =x^2 /m^2.