6. Hogyan definiáljuk az A valós szám pozitív egész kitevőjű hatványát?
a^n egy olyan N tényezős szorzat, amelynek minden
szorzótényezője A. A, tetszőleges valós szám, az N pedig
pozitív egész szám.
a^n =a*a*a*.... [N-szer]
A-túgy nevezzük, hogy a hatvány alapja, az N-et pedig úgy,
hogy a hatvány kitevője, és az a^n-t pedig a hatvány
mennyiségnek, vagy hatványértéknek, vagy röviden csak
hatványnak szoktuk mondani.
7. Igazolja a következő azonosságokat:
A, B, valós számok, n, k, pozitív egészek.
(a*b)^n =a^n*b^n
Bizonyítása:
Az (a*b)-ből n darab szorzótényezőt veszünk, s az
asszociativitás, és a kommutativitás felhasználásával az A
szorzótényezőket, és a B szorzótényezőket egymás mellé írva n
darab A szorzótényező, és n darab szorzótényező van. Az n
darab A szorzótényezőt úgy írhatjuk, hogy a^n, a b darab n
szorzótényezőt úgy írhatjuk, hogy b^n, tehát ez az azonosság
azt mondja ki, hogy a szorzatot tényezőnként is hatványozhatjuk.
Ha az azonosságot visszafelé olvassuk, akkor egyenlő kitevőjű
hatványokat úgy is összeszorozhatunk, hogy az alapok szorzatát
emeljük a közös kitevőre.
(a /b)^n =a^n /b^n
A bizonyítás során felhasználjuk a hatvány definícióját, azt,
hogy a törtek szorzásakor a számlálót a számlálóval, nevezőt a
nevezővel szorozzuk, felhasználjuk még a szorzás asszociatív
tulajdonságát is.
(a /b)^n az azt jelenti, hogy (a /b)*(a /b)*(a /b) [N-szer
ismételve]. A törtek szorzását felhasználva [a művelet
elvégzése után] a számlálóban N darab szorzótényező van, amely
a^n formában is felírható, a nevezőben n darab b szorzótényező
van, amely b^n formában írható.
Az azonosság azt mondja ki, hogy törtet úgy is
hatványozhatunk, hogy a számlálót, és a nevezőt külön-külön
hatványozzuk, és a kapott hatványoknak [kívánt sorrendben] a
hányadosát vesszük.
Az azonosságot fordított irányban is olvashatjuk: azonos
kitevőjű hatványokat úgy is oszthatunk, hogy az alapok
hányadosát emeljük a közös kitevőre.
(a^n)^k bizonyításakor a hatvány definícióját, és a szorzás
asszociativitását használjuk fel.
Ez az azonosság azt jelenti, hogy az (a^n)-t k-szor szorozzuk
össze: (a^n)*(a^n)*(a^n)*... [K-szor]
Az (a^n)-t felírhatjuk úgy is: a*a*a*a* [N-szer].
Tehát, összesen k-szor van ilyen csoportunk, tehát n*k darab
a-t szorzunk össze: a^(n*k)
Az azonosság azt mondja ki, hogy hatványt úgy is
hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük.
Az azonosság visszafelé olvasva azt mondja ki, hogy ha a
kitevő szorzat, akkor a hatvány emeletes hatványalakba is
írható, azaz külön hatványozzuk az egyik szorzótényezőre, majd
ezt a hatványt hatványozzuk a másik szorzótényezőre.
8. Definiálja a nem negatív valós szám négyzetgyökét!
mivel egyenlő gyök a^2?
Egy nem negatív [a >=0] valós szám négyzetgyöke [`a] az az
egyetlen nem negatív valós szám, amelynek a négyzete a:
`a^2 =a
Abszolútértékben `a^2-nek minden valós a-ra
értelme van.
114. Ábrázolja, és jellemezze a valós számokon értelmezett
x-hez hozzárendeljük az a^x függvényt!
Értelmezési tartománya a valós számok halmaza, értékkészlete
a pozitív valós számok halmaza.
A függvény minden pozitív értéket pontosan egyszer vesz fel,
tehát invertálható. Az inverze, hogy x-hez hozzárendeljük az
logA x-et, zérus helye nincs, szélső értéke nincs, nem
korlátos [mert csak alulról korlátos].
Ha az A [alap] nagyobb, mint 1, akkor a függvény szigorúan
monoton növekedő, azaz ha két x helyen nézzük a függvény
értékét, a későbbi érték nagyobb lesz, ha viszont az A értéke
0-1. közötti, akkor szigorúan monoton csökken a függvény értéke.
A függvény grafikonja az y tengelyt a 0, 1 pontban mettszi,
asszimptotája az x tengely, azaz közelít hozzá, de nem éri el.
12. Hogyan definiáljuk egy pozitív szám nulladik, negatív
egész és racionális kitevőjű hatványait?
a^0 =1 [a >0]
Minden pozitív valós számnak a nulladik hatványa 1.
a^-n =1 /a^n [a >0, és n pozitív egész szám.]
Minden pozitív valós szám negatív egész kitevőjű hatványa a szám
megfelelő pozitív kitevőjű hatványának a reciproka [megfelelő
pozitív számon a negatív kitevő abszolútértékét értve].
Az 1 /a^n ugyanaz, mint a (1 /a)^n. Így a^-n =(1 /a)^n. Ha az
alap tört, akkor ebben az alakban érdemes a definíciót
alkalmazni.
a^p /q =a g`a^p [a >0, p egész, q >1 egész].
Pozitív a szám (p /q)-adikon hatványa az a pozitív szám, amelynek a
q-adik hatványa (a^p)-ediken. A tört kitevőjű hatvány gyökös
alakra írható át, és megfordítva, a gyökös alak tört kitevőjű
hatvány alakba írható.
13. Mit értünk egy valós szám N-edik gyökén [ahol n egy
pozitív egész szám]?
n`a {pozitív páros n-re, és nem negatív a-ra], az a nem
negatív valós szám, amelynek az n-edik hatványa a. Páros n-re,
és negatív a-ra nincs értelme, mivel a valós számok páros
kitevőjű hatványa nem lehet negatív. Egynél nagyobb páratlan
n-re: A valós szám, melynek az n-edik hatványa A.
Pl.: 3`27 =3, 4`256 =4, 5`-32 =-2
Mert: 3^3 =27, 4^4 =256, (-2)^5 =-32
14. Igazoljuk a következő azonosságokat:
A. n`(a*b) =n`a*n`b
B. n`(a /b) =n`a /n`b
C. (k`a)^n =k`(a^n)
A hatványozás-gyökvonás, gyökvonás-szorzás, és a
gyökvonás-osztás művelete megcserélhető.
A. Az állítás igaz, ha n>1 [egész szám].
Páros n-re: A, és B egyaránt nem negatív szám.
Páratlan n-re: A, és b tetszőleges valós számok.
Az azonosság azt mondja ki, hogy szorzatból tényezőnként
vonhatunk gyököt.
Bizonyítása: a gyök fogalom definíciója szerint az állítás bal
oldalán álló (n`(a*b))^n az egyenlő (a*b)-vel.
((n`a)*(n`b))^n =(n`a)^n*(n`b)^n [szorzat hatványára vonatkozó
azonosság miatt] =a*b
Páratlan n-re: ha a két oldal n-edik hatványa azonos, akkor a
két oldal is azonos.
Páros n-re: amikor mindkét oldal "értelmes" [vagyis nem
negatív], akkor az n-edik hatványok azonosságából ugyancsak
következik a két oldal egyenlősége. Ez csak akkor nem igaz, ha
páros a gyökkitevő, és A, vagy b értéke negatív, s ekkor az
egyik oldalnak nincs értele.
B. Az állítás igaz akkor, ha n >1 [egész szám].
Páros N esetén: A nem negatív valós szám, B pozitív valós szám
Páratlan N esetén: A tetszőleges valós szám, B nullával nem
egyenlő valós szám. [Mert nevezőben nem állhat 0]
Az azonosság azt mondja ki, hogy törtből úgy is vonhatunk
gyököt, hogy a számlálóból, és a nevezőből is gyököt vonunk,
és a kapott két mennyiséget [a bal oldal felírási
sorrendjében] elosztjuk egymással.
Bizonyítása: felhasználjuk, hogy törteket úgy hatványozunk,
hogy a számlálót, és a nevezőt a megfelelő kitevőre emeljük,
valamint felhasználjuk a gyök fogalmának definícióját.
A bal oldalon álló (n`(a /b))-nek az n-edik hatványát véve (a
/b)-t kapunk, míg a jobb oldal n-edik hatványa: ({n`a
/n`b})^n. Külön a számláló, és nevező n-edik hatványát véve
({n`a^n /n`b^n} =a /b)-t kapunk.
Páratlan N esetén tetszőleges számokra igaz ez, páros N esetén
pedig akkor, ha mindkét oldalon nem negatív szám áll a gyökjel
alatt.
C. Az állítás igaz, ha k >=1 [egész szám], n =>1 [egész szám].
Páratlan k esetén az A tetszőleges valós szám lehet, páros k
esetén pedig nem negatív valós szám. [Gyökjel alatt nem állhat
negatív szám!]
Az azonosság kimondja, hogy a hatványozás, és a gyökvonás
sorrendje felcserélhető egymással. Másképpen: gyökmennyiséget
úgy hatványozhatunk, hogy a gyök alatti mennyiséget emeljük a
kívánt kitevőre.
Bizonyítása: k`(a^n) írható úgy: k`(a*a*a*a*... [n darab
szorzótényezővel]) =k`a*k`a*k`a*... [N darab szorzótényezővel],
mely írható úgy, hogy: (k`a)^n.
Az azonosságokat fordított irányba is olvashatjuk, visszafelé
is igazak.
15. Mit nevezünk egy valós szám normál alakjának? Írjuk fel a
következő számok normál alakját:
0.000173, 582000000, 78/582.
A pozitív valós szám normál alakja olyan két tényezős szorzat,
amelynek az egyik tényezője 1, vagy 1-nél nagyobb, de 10-nél
kisebb valós szám, a másik tényezője 10-nek az egész kitevős hatványa.
Avagy: olyan szám, ami 1-nél nagyobb, vagy egyenlő, és 10-nél kisebb.
Negatív valós szám normál alakja: olyan két tényezős szorzat,
amelynek az egyik tényezője -1, vagy -1-nél kisebb, de -10-nél
nagyobb szám, a másik tényezője pedig 10-nek az egész kitevős hatványa.
[A nullát nem lehet a fentiekhez hasonló módon megadni!]
0.000173 =1.73*10^-4
582000000 =5.82*10^7
78/582 =[tizedestörtben] 0.1342 =1.342*10^-1
108. Ábrázoljuk, és jellemezzük a valós számok halmazán
értelmezett [x-hez hozzárendeljük az abszolútérték x-et] függvényt!
Értelmezési tartomány: valós számok halmaza, és x eleme R.
Érték készlete: nem negatív valós számok halmaza.
Minimum helye: x =0
Minimum értéke: y =0
Zérus helye: x =0
X tengely mettszet: x =0
Y tengely mettszet: y =0
Ha x <0, akkor szigorúan monoton csökken, ha x >0, szigorúan
monoton nő a függvény.
A függvény páros függvény, grafikonja szimetrikus az y tengelyre.
16. Mit jelent az A alapú logaritmus b, és milyen kikötéseket
kell tenni a-ra, és b-re?
B-nek az A alapú logaritmusa az az egyetlen valós kitevő,
amelyre az a-t felemelve b-t kapunk.
a^(logA b) =b
Kikötések: b >0, a >0 [és nem lehet egyenlő 1-gyel].
17. Igazoljuk a következő azonosságokat:
A. logA (x*y) =logA x +logA y
B. logA (x /y) =logA x -logA y
C. logA (x^k) =k*logA x
Milyen kikötéseket kell tenni x-re, y-ra, a-ra, ill. k-ra?
A. Az állítás igaz, ha x >0, y >0 [amire vonatkozik a
logaritmus], az A >0 [alap], mely nem lehet egyenlő 1-gyel.
Az azonosság azt mondja ki, hogy szorzat adott alapú
logaritmusa egyenlő a tényezők ugyanilyen alapú
logaritmusainak összegével.
Bizonyítása: A bizonyítás során felhasználjuk a logaritmus
definícióját, és azt, hogy a logaritmus függvény szigorúan
monoton.
Írjuk fel az x-et, és az y-t A hatványaként!
x =a^u
y =a^v
u =logA x
v =logA y
Ezt a jelölést alkalmazzuk a bizonyítandó egyenlőség bal
oldalára, majd felhasználjuk azt, hogy egyenlő alapú
hatványokat úgy szorozhatunk össze, hogy a közös alapot a
kitevők összegére emeljük.] =u +v
logA (x*y) =logA (a^u*a^v) =logA (a^(u +v)) [Egyenlő alapú
hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevők összegét vesszük]
logA x +logA y =u +v
A két oldal tehát egyenlő, így a bizonyítandó állítás igaz.
logA (x*y) =logA x +logA y
Kikötés: x >0, y >0, a >0 és nem egyenlő 1-gyel.
B. Az állítás igaz, ha x >0, y >0, a >0 és nem egyenlő 1-gyel.
Az azonosság azt mondja ki, hogy hányados adott alapú
logaritmusa megegyezik a számláló, és a nevező ugyanilyen
alapú logaritmusának különbségével.
Bizonyítása: felhasználjuk a logaritmus definícióját, és azt,
hogy az exponenciális, és a logaritmus függvény szigorúan
monoton.
x =a^u
y =a^v
u =logA x
v =logA y
logA (x /y) =logA ({a^u /a^v}) =logA (a^(u -v)) =u -v
logA x -logA y =u -v
C. Az állítás igaz akkor, ha x >0, k valós, és az A >0, de nem
egyenlő 1-gyel.
Az azonosság azt mondja ki, hogy hatvány adott alapú
logaritmusa megegyezik a hatvány a hatvány adott alapú
logaritmusának, és a hatvány kitevőnek a szorzatával.
A bizonyítás során felhasználjuk a logaritmus definícióját, és
azt, hogy az exponenciális, és logaritmus függvény szigorúan monoton:
x =a^u
u =logA x
A bizonyítandó egyenlőség bal oldala [felhasználva, hogy
hatványt úgy hatványozunk, hogy az alapot a kitevő szorzatára
emeljük] így írható:
logA (x^k) =logA ((a^u)^k) =logA (a^(u*k)) =u*k
A jobb oldala:
k*logA x =k*u
A két oldal tehát egyenlő, így a bizonyítandó állítás igaz.
A logaritmus alkalmazások alkalmazása megváltoztatja a
logaritmikus kifejezések értelmezési tartományát. A felírás
sorrendjében olvasva szűkíti, vagy szűkítheti azokat. Az
egyenletek megoldásakor gyakran alkalmazzuk a fenti [A, B, C]
azonosságokat fordított irányba olvasva is.
A logaritmikus egyenletek megoldásakor többnyire bővül az
egyenletekben szereplő függvények értelmezési tartománya.
Hamis gyökök föllépését elkerülhetjük, ha az azonosságok
alkalmazása előtt kikötjük a szükséges megszorításokat, és a
megoldáskor kapott eredményeket ezekkel összevetjük. Ezt
helyettesíthetjük a gyökök ellenőrzésével.
115. Ábrázolja, és jellemezze a pozitív valós számok halmazán
értelmezett A alapú logaritmus x függvényt, ha a>1, és abban
az esetben, ha A 0, és 1 közötti értéket vesz föl.
[Vagyis az alapot két csoportra osztjuk, 1-nél nagyobb, és
1-nél kisebb pozitív szám.]
Mind a két esetben az értelmezési tartomány a pozitív valós
számok halmaza [x eleme R+], érték készlete pedig a valós
számok halmaza [x eleme R].
A függvény minden értéket pontosan egyszer vesz fel, tehát
invertálható. Inverze: a^x.
Zérus helye: x =1. Szélső értéke nincs, és nem korlátos. Ha
a>1, akkor szigorúan monoton nő, ha pozitív az alap, de 1-nél
kisebb, akkor szigorúan monoton csökken a függvény. Az
egyenlőtlenségek megoldásánál érdekes ez, mikor is szigorúan
monoton növekszik, s a logaritmus elhagyásával rátérünk az
argumentumokra, s ekkor marad a relációsjel ugyanolyan. Ha az
alap 0-1. közötti [szigorúan monoton csökken a függvény], a
logaritmus elhagyásával az argumentumra rátérve a relációsjel
ellentétesre vált.
A függvény grafikonja mind a két esetben az x tengelyt az 1, 0
pontban mettszi, aszimptotája pedig az y tengely.
23. Hogyan definiálja két negatív szám számtani, ill. mértani közepét?
Két valós szám [A, és B] számtani közepe, a két szám
összegének fele: {a +b /2}.
Két nem negatív valós szám [a>=0, és b>=0] mértani közepe,
szorzatuk négyzetgyöke: `(a*b).
Beszélhetünk n darab valós szám számtani közepéről is, ez az
adott számok összegének az n-ed része.
Beszélhetünk n darab nem negatív szám mértani közepéről is,
ami az adott számok szorzatának az n-edik gyöke.
43. Mi az összefüggés két nem negatív szám számtani, és
mértani közepe között? Igazoljuk az összefüggést!
Két nem negatív szám számtani közepe nagyobb a két szám
mértani közepénél, esetleg egyenlő vele, de egyenlőség csak
akkor van, ha a két szám egymással egyenlő:
{a +b /2} >=`(a*b)
a >=0, b >=0
Bizonyítása: [Kettővel átszorozva]
a +b >=2*`(a*b)
[Mindkét oldalt négyzetre emelve:]
a^2 +2*ab +b^2 >=4*ab
[4*a*b-t átvisszük a bal oldalra:]
a^2 -2*ab +b^2 >=0
[Más alakba felírva:]
(a -b)^2 >=0
Ez igaz, mert (a -b)-nek a négyzete [azaz egy valós szám
négyzete] nem lehet negatív soha, tehát vagy nulla, vagy
pozitív lehet.
Ez akkor lesz egyenlő nullával, ha az A egyenlő a b-vel,
vagyis a számtani, és a mértani közép akkor egyenlő egymással,
ha a két érték megegyezik egymással.